Кто знает тер.вер.?

[Renge]

Пожалуйста, решите ребенку задачку

Сколько существует четноэлементных подмножеств множества из 2007 элементов?

Я тупа в математике, как пробка :cry:

 

[Tofsla]

удалила

 

[Scara]

Tofsla, ну не знаете математику - так не пишите, а то ведь ребенок сдаст задачку и получит от препода в лоб за такое решение :wink:

Кстати, задачка с подвохом.
Если считать пустое множество, как множество, содержащее 0 элементов, тогда получаем решение вида:
C(2007,0)+C(2007,2)+C(2007,4)+...+C(2007,2006)=2^2006, где С(a,b) означает число сочетаний из a по b (что это такое, можно посмотреть тут http://ru.wikipedia.org/wiki/Сочетание , только скопируйте ссылку целиком), а значок ^ означает возведение в степень.
Откуда именно такой результат. Если взять сумму виду C(2007,0)+C(2007,1)+C(2007,2)+...+C(2007,2007), то получим 2^2007, а поскольку мы имеем лишь половину слагаемых из указанного выражения, то и значение будет в 2 раза меньше, т.е. 2^2006.

Гораздо менее вероятный ответ, но тоже возможный. Если скажут, что пустое множество вовсе не является множеством, содержащим 0 элементов, то сумма лишится первого слагаемого и тогда решение C(2007,2)+C(2007,4)+...+C(2007,2006)=2^2006-C(2007,0)=2^2006-1

 

[lisa (lisa)]

Если позволите, небольшое уточнение:

а поскольку мы имеем лишь половину слагаемых из указанного выражения

и каждому из "присутствующих" слагаемых C(2007,2*N) соответствует равное ему по значению "отсутствующее" слагаемое C(2007,2007-2*N)

то и значение будет в 2 раза меньше

 

[Scara]

lisa, полезное уточнение
А если еще кто-нибудь не поленится и допишет, почему собственно сумма всех таких слагаемых даст 2^2007, то решение будет полным :lol:

 

[Tofsla]

Извините, чего-то я сначала написала, потом решила, хорошо, что поправили

 

[lisa (lisa)]

Потому что сумма всех сочетаний - это, фактически, количество подмножеств данного множества. Как их подсчитать? Каждый элемент в каждом из подмножеств либо присутствует, либо отсутсвует - т.е. дает ровно 2 степени свободы. Берем множество из одного элемента, возможных подмножеств - два (2=2^1) : пустое множество и само множество. При добавлении каждого нового элемента количество подмножеств увеличивается вдвое (есть элемент - нет элемента), таким образом для множества с 2007 элементами оно становится равно 2^2007.

Более точное доказательство - по индукции. Пусть для множества с N элементами количество всех его подмножеств равно 2^N. Добавляем еще один элемент, тогда количество возможных подмножеств увеличивается вдвое: те, которые уже были для предыдущего множества, и те же подмножества, но с дополнительным новым элементом. Итак, для множества с N+1 элементами количество подмножеств равно 2*2^N=2^(N+1).

Но это-то, я думаю, дите как раз должно знать.

 

[Renge]

огромное-огромное-преогромное спасибо!
Надеюсь, это верное решение) завтра узнаю...

Кстати, вопрос не последний Чтобы получить экзамен, мне нужно будет решить таких 5. Остальные пока не знаю. А т.к. я ярковыраженный гуманитарий, вы - моя единственная надежда!