Граждане! Ну не является паспорт документом, подтверждающим права собственника!
Вы можете (точнее, нынешний владелец) получить паспорт сейчас, до оформления договора (а потом в договоре, описывая лошадь, укажете, что паспорт такой-то). Можете сначала лошадь купить, а потом заняться оформлением паспорта уже на себя. Но к покупке это отношение имеет не самое прямое.
А потом, почему вы уверены, что во ВНИИКе вам эту лошадь по крови идентифицируют? А если нет, если папа-мама ее там не числяться и она окажется какой-нибудь неизвестной помесью? Выдадут вам просто паспорт прогулочной лошади (кажется, так это у них называется). Хозяйка вам говорит, что паспорт был, но это ее слова. Хотя кровь в любом случае отправить не помешает - если покупаете породистую лошадь, про которую вам говорят то-то и то-то, хотя бы будете точно уверены, как уже говорила Notka, что покупаете именно заявленную лошадь, а не нечто другое.
Но еще раз повторюсь, что к праву собственности это не относится.
Даже наличие свежеоформленного паспорта не застрахует вас от появления прежних владельцев с "утерянным" ранее паспортом, заявляющих, что ваш продавец у них эту лошадь украла.