Если под верхом, с двумя поводьями, картина иная (не как на фото на корде - носом к груди, а носом вперёд), то это нормально для заезжающейся лошади - она таким образом себя уравновешивает со всадником - ничего не надо делать, просто работайте пока на физику - медленные аллюры (долгие шаг, тихая рысь), пока по прямой, за повод не берите - на свободном поводу, с минимальным контактом - пусть сам уравновешивается, вы его грамотно уравновесить всё равно вряд ли сможете. Когда он найдёт баланс, если рот не будет испорчен и не дадите лечь в повод (найти в нём опору), он сам поднимет голову, главное двигайте вперёд (т.е. двигаться должен не быстро, но энергично). Отрабатывайте переходы и посыл вперёд, а так же остановки от минимального воздействия шенкеля, повода и корпуса. Когда будет готов поднять голову и взять повод, можно перейти к большим вольтам. Всё остальное - сильно потом.
По поводу корды - у вас очень неудачное пристёгивание корды - сдавливает нижнюю челюсть - ничего хорошего. Лучше пристёгивая к внешнему кольцу корду перекидываете через затылок (дублем уздечки), потом пропускаете через внутреннее кольцо, дальше в руку. Получает воздействие не одной а двумя точками воздействия на рот, смягчённое пропусканием через затылок.
P.S. Чек как раз таки поднимает голову, не давая ей опуститься, тем более "между ног". От чека он бы скорее драл голову вверх.
P.P.S. Вы поймите - в качалке совсем другая механика движения, в качалке корпус прямой как палка, а на корде гнуться надо, а под верхом координировать свои движения с балансом всадника и его весом. Плюс в качалке есть опора в повод(вожжи) и чем сильней эта опора, тем резвее бежит рысак, а под верхом ни какой серьёзной опоры в повод быть не должно, должен быть лёгкий контакт, а лошадь ищет привычных ощущений, плюс ещё если у наездника была сильная и жёсткая рука, то... сами понимаете.
