1."Плотная", "манежная" посадка, "посадка на балансе" – одно и то же?
Корректный термин - второй, остальные - жаргон.
Интересует любимый выездюками термин "посадка на балансе" в узком смысле.)
Это малограмотный жаргонизм.
2. "Неплотная", "полевая" – одно и то же? Или "неплотная посадка" понятие более широкое?
Официальный термин - полевая посадка, но между полевой и манежной известны промежуточные варианты, например - посадка облегченная, или полупосадка (хотя это опять жаргон): она выше манежной и менее плотная, но ниже и плотнее полевой.
3. "Строевая рысь" и "облегченная рысь" – это одно и то же?
Да.
5. "Полевая посадка" применяется только в контексте полевой работы или нет? Часто попадается, что дескать, в поле - полевая, а в манеже - полупосадка.
Где угодно, там и применяйте, официальных ограничений нет.
6. "Полупосадка" – то же, что "полевая", или еще одна отдельная разновидность? Опять же чисто галопный термин или всеаллюрный? Если "полевая" и "полупосадка" – разные, то в чем разницы в технике исполнения?
Объяснил выше; применение - где и когда угодно, и на галопе, и на рыси, и на шагу. Как для тренировки собственно посадки, так и для сбережения спины молодой, сырой или дурноезжей лошади.
Можно ли вывести какую-то "истинную" классификацию посадок, чтобы все друг друга понимали сразу правильно?
Она выведена давным-давно, просто людям лень читать первоисточники.

Универсальный официальный мировой))) список состоит из 4-х пунктов: посадка классическая (манежная, выездковая), строевая (облегченная) рысь, полевая посадка и посадка жокейская. Некоторые специалисты выделяют в отдельный пункт посадку для стипль-чеза, но это спорно.
Дополнительные, но тоже широко известные позиции - 2: полупосадка (облегченная, или ремонтёрская) и прыжковая (речь о работе тела всадника в процессе прыжка).
В Англии, США и нек. других странах есть термин "охотничья посадка" - и соотв. школа обучения.
Часто полевая посадка преподаётся заодно с прыжковой, и тогда они обе называются посадкой конкурной.
Некоторые авторы (например, Уильям Штайнкрауз) выделяют ещё несколько видов специальных посадок - в русской обиходной речи они называются рабочими или берейторскими.
Наконец, отдельная ветвь эволюции - это рабочие посадки в другом смысле

, например - рабочие вестерновые и другие узкоспециальные: как усидеть при ловле бычка, играя в поло и т. п.